Calcul du PGCD et du PPCM
Maths et nombresQuels diviseurs ces nombres ont-ils en commun ?
Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux à dix entiers, avec les étapes d’Euclide.
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De 2 à 10 entiers, séparés par des virgules ou des espaces
Plus grand commun diviseur
12
Le plus grand commun diviseur de 24, 36, 60 est 12.
L’autre résultat
- Plus petit commun multiple
- 360
Algorithme d’Euclide
- 36 = 1 × 24 + 12
- 12
- 24 = 2 × 12 + 0
- 0
- pgcd(24, 36)
- 12
- 60 = 5 × 12 + 0
- 0
- pgcd(12, 60)
- 12
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Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux à dix entiers, avec les étapes d’Euclide.
Mode d’emploi
- Saisissez deux à dix entiers, séparés par des virgules ou des espaces.
- Lisez le plus grand commun diviseur (PGCD) ou le plus petit commun multiple (PPCM), et choisissez lequel afficher en premier.
- Ouvrez l’algorithme d’Euclide ci-dessous pour voir comment le PGCD a été obtenu, ou copiez le lien pour partager les mêmes nombres.
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Comment ça marche
Le plus grand commun diviseur de plusieurs entiers est le plus grand nombre qui les divise tous sans reste : le PGCD de 24 et 36 est 12. Le plus petit commun multiple est le plus petit entier positif divisible par chacun d’eux : le PPCM de 4 et 6 est 12. Le PGCD sert à simplifier une fraction, et le PPCM fournit un dénominateur commun pour additionner des fractions.
L’algorithme d’Euclide trouve le PGCD par divisions successives : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le plus petit par le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur est le PGCD. Pour 48 et 18 : 48 = 2 × 18 + 12, puis 18 = 1 × 12 + 6, puis 12 = 2 × 6 + 0, donc le PGCD est 6. Le PPCM se déduit de ppcm(a, b) = a ÷ pgcd(a, b) × b, soit 48 ÷ 6 × 18 = 144.
Pour plus de deux nombres, on calcule de proche en proche : pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c), et de même pour le PPCM. Les signes sont ignorés. Le PGCD de 0 et d’un nombre est ce nombre ; pgcd(0, 0) vaut 0 par convention, et le PPCM vaut 0 dès qu’un des nombres vaut 0. Les calculs sont exacts pour des nombres de 40 chiffres au plus.
Exemple de calcul
Quels sont le PGCD et le PPCM de 12 et 18 ?
- Division avec reste : 18 = 1 × 12 + 6.
- Le dernier diviseur non nul est 6.
PGCD = 6 ; PPCM = 12 ÷ 6 × 18 = 36.
Questions fréquentes
Quelle différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD est le plus grand nombre qui divise tous les nombres ; il ne dépasse donc jamais le plus petit d’entre eux. Le PPCM est le plus petit nombre divisible par tous ; il n’est donc jamais inférieur au plus grand d’entre eux.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Les nombres n’ont aucun diviseur commun sauf 1 : on les dit premiers entre eux. 8 et 15 sont premiers entre eux, bien qu’aucun ne soit premier. Le PPCM de deux nombres premiers entre eux est simplement leur produit.
PGCD, GCD, GCF et HCF désignent-ils la même chose ?
Oui. Les termes anglais greatest common divisor, greatest common factor et highest common factor désignent tous le plus grand commun diviseur.
Comment simplifier une fraction avec le PGCD ?
Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Pour 18/48, le PGCD est 6 : la fraction devient donc 3/8.
Puis-je saisir des nombres négatifs ?
Oui. Les signes sont ignorés : les nombres négatifs donnent les mêmes diviseurs et multiples que leurs équivalents positifs.
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