Combien de façons y a-t-il de les choisir ?

Comment ça marche

Compter les façons de choisir des éléments se résume à deux questions : l’ordre compte-t-il, et un élément peut-il être choisi de nouveau ? Un tirage du loto ignore l’ordre et ne répète jamais une boule, un podium de course tient compte de l’ordre, et un code PIN tient compte de l’ordre et permet de répéter les chiffres.

Sans répétition, le nombre de choix ordonnés est P(n, k) = n! ÷ (n − k)!, où n! = 1 × 2 × … × n. Ignorer l’ordre revient à diviser par les k! façons d’arranger les mêmes éléments : C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!). Choisir 6 numéros parmi 49 donne 49! ÷ (6! × 43!) = 13 983 816 grilles. Avec répétition, les choix ordonnés sont nᵏ (un code PIN à quatre chiffres en a 10⁴ = 10 000) et les choix non ordonnés C(n + k − 1, k). Les formules suivent Concrete Mathematics de Graham, Knuth et Patashnik.

Ces nombres grandissent très vite : chaque chiffre est donc calculé exactement, et les grands résultats sont aussi affichés en puissance de dix. La probabilité d’un tirage précis vaut 1 divisé par le décompte, ce qui n’est vrai que si tous les résultats sont également probables, comme dans un tirage équitable.