Dreiecksrechner
Mathe & ZahlenWie berechne ich ein Dreieck?
Gib drei Stücke eines Dreiecks an und erhalte die anderen drei, die Fläche und eine maßstabsgetreue Zeichnung, auch wenn es zwei Lösungen gibt.
Deine Eingaben bleiben bei der Nutzung dieses Tools auf deinem Gerät. Beim Öffnen eines geteilten Links werden die Einstellungen in der Adresse an HowToolbox gesendet, um die Seite vorzubereiten.
Fehlend: A, B und C
36,87° · 53,13° · 90°
Rechtwinklig ungleichseitig · Fläche 6 m² · Umfang 12 m
Das ganze Dreieck
- Seite a
- 3 m
- Seite b
- 4 m
- Seite c
- 5 m
- Winkel A (gegenüber a)
- 36,87°
- Winkel B (gegenüber b)
- 53,13°
- Winkel C (gegenüber c)
- 90°
- Fläche
- 6 m²
- Umfang
- 12 m
- Art
- Rechtwinklig ungleichseitig
- Inkreisradius
- 1 m
- Umkreisradius
- 2,5 m
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Gib drei Stücke eines Dreiecks an und erhalte die anderen drei, die Fläche und eine maßstabsgetreue Zeichnung, auch wenn es zwei Lösungen gibt.
Anleitung
- Wähle, was du kennst: drei Seiten oder eine Mischung aus Seiten und Winkeln.
- Gib die drei Stücke ein. Seite a liegt Winkel A gegenüber, b gegenüber B und c gegenüber C.
- Lies die fehlenden Stücke, die Fläche und die Art des Dreiecks ab; die Zeichnung zeigt es maßstabsgetreu.
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So funktioniert es
Drei Stücke legen ein Dreieck fest, solange eines davon eine Seite ist. Die Winkel ergeben immer zusammen 180°, zwei Winkel liefern also den dritten. Zwei Sätze verbinden Seiten und Winkel: der Sinussatz, a / sin A = b / sin B = c / sin C, und der Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab × cos C, der Satz des Pythagoras mit einer Korrektur für Winkel ungleich 90°.
Beispiel: Seiten 3, 4 und 5. Der Kosinussatz ergibt cos C = (3² + 4² − 5²) / (2 × 3 × 4) = 0, also C = 90°: ein rechtwinkliges Dreieck. Dann ergibt sin A = 3 / 5 den Winkel A ≈ 36,87° und B = 180° − 90° − 36,87° ≈ 53,13°. Die Fläche ist ½ × a × b × sin C = 6.
Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen ihnen liegt (SSW), sind der mehrdeutige Fall: Die Seite gegenüber dem Winkel kann sich so drehen, dass sie die dritte Seite an zwei Stellen trifft, an einer oder gar nicht. Passen zwei Dreiecke, werden beide gezeigt. Quelle: OpenStax Precalculus 2e, Abschnitte 8.1 und 8.2 (CC BY 4.0).
Rechenbeispiel
Welcher Winkel liegt der längsten Seite eines 3–4–5-Dreiecks gegenüber?
- cos C = (3² + 4² − 5²) ÷ (2 × 3 × 4) = 0.
- C = arccos(0) = 90°.
Der Winkel beträgt 90°, also ist das Dreieck rechtwinklig.
Häufige Fragen
Warum kann ich ein Dreieck nicht aus drei Winkeln berechnen?
Winkel legen nur die Form fest, nicht die Größe: Ein kleines und ein großes Dreieck können dieselben Winkel haben. Du brauchst mindestens eine Seite.
Warum gibt es manchmal zwei Lösungen?
Bei zwei Seiten und einem Winkel gegenüber einer davon kann die kürzere Seite die Grundseite an zwei Punkten treffen. Beide Dreiecke sind richtig; nimm das, das zu deiner Zeichnung passt.
Wie prüfe ich, ob drei Längen ein Dreieck ergeben?
Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste. Seiten von 1, 2 und 5 treffen sich nie.
Ist das dasselbe wie der Satz des Pythagoras?
Für ein rechtwinkliges Dreieck ja: Der Kosinussatz mit C = 90° wird zu c² = a² + b². Der Rechner funktioniert aber auch für jedes andere Dreieck.
Müssen alle drei Seiten dieselbe Einheit haben?
Ja. Rechne die Maße vor dem Vergleich in dieselbe Einheit um. Die Einheitenwahl ändert die Darstellung der gespeicherten Längen.
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