Kombinationen und Permutationen berechnen
Mathe & ZahlenWie viele Möglichkeiten gibt es, sie auszuwählen?
Exakte Anzahl von Kombinationen und Permutationen, mit oder ohne Wiederholung, und die Chance auf eine bestimmte Auswahl.
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Kombinationen
13.983.816
Möglichkeiten, 6 von 49 Elementen zu wählen, wenn die Reihenfolge egal ist und nichts doppelt vorkommt.
Mehr zur Anzahl
- Formel
- C(49, 6) = 49! ÷ (6! × 43!)
- Chance auf eine bestimmte Auswahl
- 1 zu 13.983.816 (0,00000715 %)
- Wenn die Reihenfolge zählte
- 10.068.347.520
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Exakte Anzahl von Kombinationen und Permutationen, mit oder ohne Wiederholung, und die Chance auf eine bestimmte Auswahl.
Anleitung
- Gib ein, aus wie vielen Elementen du wählst und wie viele du wählst.
- Schalte Reihenfolge zählt ein, wenn eine andere Reihenfolge ein anderes Ergebnis ist, und Wiederholung erlaubt, wenn ein Element erneut gewählt werden kann.
- Lies die Anzahl als Antwort ab, dazu die Formel, die Chance auf eine bestimmte Auswahl und bei riesigen Zahlen jede Stelle.
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So funktioniert es
Wie viele Möglichkeiten es gibt, etwas auszuwählen, hängt an zwei Fragen: Zählt die Reihenfolge, und kann ein Element erneut gewählt werden? Eine Lottoziehung ignoriert die Reihenfolge und zieht keine Kugel doppelt, beim Siegerpodest zählt die Reihenfolge, und bei einer PIN zählt die Reihenfolge und Ziffern dürfen sich wiederholen.
Ohne Wiederholung gibt es P(n, k) = n! ÷ (n − k)! geordnete Auswahlen, wobei n! = 1 × 2 × … × n. Ohne Reihenfolge teilt man das durch die k! Arten, dieselbe Auswahl anzuordnen: C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!). 6 aus 49 ergibt 49! ÷ (6! × 43!) = 13.983.816 Tippreihen. Mit Wiederholung gibt es nᵏ geordnete Auswahlen (eine vierstellige PIN hat 10⁴ = 10.000) und C(n + k − 1, k) ungeordnete. Die Formeln folgen Graham, Knuth und Patashnik, Concrete Mathematics.
Die Anzahlen wachsen sehr schnell, darum wird jede Stelle exakt berechnet, und große Ergebnisse werden auch als Zehnerpotenz gezeigt. Die Chance auf eine bestimmte Auswahl ist 1 geteilt durch die Anzahl; das gilt nur, wenn jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, wie bei einer fairen Ziehung.
Rechenbeispiel
Wie viele Paare kannst du aus 5 verschiedenen Elementen ohne Wiederholung wählen?
- Es gibt 20 geordnete Auswahlen, aber jedes Paar erscheint in 2 Reihenfolgen.
Ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es 20 ÷ 2 = 10 Paare.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Permutation?
Bei einer Kombination zählt nur, welche Elemente gewählt werden, bei einer Permutation auch die Reihenfolge. Jede Kombination aus k Elementen lässt sich auf k! Arten anordnen, also gibt es k!-mal so viele Permutationen.
Wie viele mögliche PIN-Codes gibt es?
Schalte beide Schalter ein und wähle 4 aus 10 Ziffern: 10⁴ = 10.000 Codes. Sechs Ziffern ergeben 1.000.000.
Wie viele Blätter mit 5 Karten gibt ein Deck mit 52 Karten?
Die Reihenfolge eines Blatts ist egal, und keine Karte kommt doppelt vor, also sind es C(52, 5) = 2.598.960 Blätter.
Warum ist die Anzahl 0?
Ohne Wiederholung kannst du nicht mehr Elemente wählen, als es gibt: 7 aus 5 geht auf keine Weise.
Warum zählt die Auswahl von nichts als eine Möglichkeit?
Es gibt genau eine leere Auswahl. Deshalb ergibt die Auswahl von null Elementen ein Ergebnis, selbst wenn keine Elemente verfügbar sind.
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