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Résolution de triangles

Maths et nombres

Comment résoudre un triangle ?

Donnez trois éléments d’un triangle et obtenez les trois autres, son aire et un dessin à l’échelle, y compris quand deux solutions existent.

Manquants : A, B et C

36,87° · 53,13° · 90°

Rectangle quelconque · aire 6 m² · périmètre 12 m

Le triangle à l’échelle : a = 3 m, b = 4 m, c = 5 m, A = 36,87°, B = 53,13°, C = 90°.

Le triangle entier

Côté a
3 m
Côté b
4 m
Côté c
5 m
Angle A (opposé à a)
36,87°
Angle B (opposé à b)
53,13°
Angle C (opposé à c)
90°
Aire
6 m²
Périmètre
12 m
Type
Rectangle quelconque
Rayon du cercle inscrit
1 m
Rayon du cercle circonscrit
2,5 m

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Donnez trois éléments d’un triangle et obtenez les trois autres, son aire et un dessin à l’échelle, y compris quand deux solutions existent.

Mode d’emploi

  1. Choisissez ce que vous connaissez : trois côtés, ou un mélange de côtés et d’angles.
  2. Saisissez les trois éléments. Le côté a est opposé à l’angle A, b à B et c à C.
  3. Lisez les éléments manquants, l’aire et le type de triangle ; le dessin le montre à l’échelle.

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Comment ça marche

Trois éléments déterminent un triangle, à condition que l’un d’eux soit un côté. La somme des angles vaut toujours 180°, donc deux angles donnent le troisième. Deux lois relient côtés et angles : la loi des sinus, a / sin A = b / sin B = c / sin C, et la loi des cosinus (théorème d’Al-Kashi), c² = a² + b² − 2ab × cos C, qui est le théorème de Pythagore corrigé pour les angles différents de 90°.

Exemple : côtés 3, 4 et 5. La loi des cosinus donne cos C = (3² + 4² − 5²) / (2 × 3 × 4) = 0, donc C = 90° : un triangle rectangle. Ensuite, sin A = 3 / 5 donne A ≈ 36,87° et B = 180° − 90° − 36,87° ≈ 53,13°. L’aire vaut ½ × a × b × sin C = 6.

Deux côtés et un angle qui n’est pas entre eux (SSA), c’est le cas ambigu : le côté opposé à l’angle peut pivoter et rejoindre le troisième côté en deux points, en un seul ou pas du tout. Quand deux triangles conviennent, les deux sont affichés. Source : OpenStax Precalculus 2e, sections 8.1 et 8.2 (CC BY 4.0).

Exemple de calcul

Quel angle est opposé au plus long côté d’un triangle 3–4–5 ?

  1. cos C = (3² + 4² − 5²) ÷ (2 × 3 × 4) = 0.
  2. C = arccos(0) = 90°.

L’angle vaut 90°, donc le triangle est rectangle.

Questions fréquentes

Pourquoi ne peut-on pas résoudre un triangle avec trois angles ?

Les angles fixent seulement la forme, pas la taille : un petit et un grand triangle peuvent avoir les mêmes angles. Il faut au moins un côté.

Pourquoi y a-t-il parfois deux réponses ?

Avec deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux, le côté le plus court peut toucher la base en deux points. Les deux triangles sont justes ; choisissez celui qui correspond à votre dessin.

Comment vérifier si trois longueurs forment un triangle ?

Les deux côtés les plus courts réunis doivent être plus longs que le plus long. Des côtés de 1, 2 et 5 ne se rejoignent jamais.

Est-ce la même chose que Pythagore ?

Pour un triangle rectangle, oui : la loi des cosinus avec C = 90° devient c² = a² + b². L’outil fonctionne aussi pour tous les autres triangles.

Les trois côtés doivent-ils utiliser la même unité ?

Oui. Convertissez les mesures dans la même unité avant de comparer les côtés. Le sélecteur d’unité change l’affichage des longueurs enregistrées.

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